15 июля - 19 июля, 2024
Омск, Россия
-
Аликбаров Максим Михайлович
(Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия)"Гиперболичность сложных сетей"
Презентация (ru)
-
Амаглобели Михаил Георгиевич, Мясников Алексей Георгиевич
(Тбилисский государственный университет, Грузия; Stevens Institute of Technology, USA)"О категориях степенных \(R\)-групп"
Аннотация
Пусть \(R\) - произвольное ассоциативное кольцо с единицей \(1\). С помощью этого кольца мы определяем новую категорию \(R\)-групп тремя разными способами. Для этого обогатим групповой язык \(L_{gr} = \{ \cdot, ^{-1}, e\}\) следующим образом: \(L_{gr}^R = \{ f_{\alpha}(g)\ |\ \alpha\in R \}\), где \(f_{\alpha}(g)\) - унарная операция, обозначаемая через \(f_{\alpha}(g) = g^{\alpha}\ \forall g\in G\). Множество \(G\) будем называть \(R\)-группой по Линдону [1], если на нём определены операции \(\cdot,\ ^{-1},\ e,\ f_{\alpha}(g)\) и выполнены аксиомы:
- аксиомы группы;
- \(g^1=g,\ g^0 = e,\ g^{\alpha+\beta} = g^{\alpha}g^{\beta},\ g^{\alpha\beta} = (g^{\alpha})^{\beta},\ (h^{-1}gh)^{\alpha} = h^{-1}g^{\alpha}h\).
В работе [2] А. Г. Мясников и В. Н. Ремесленников ввели новую категорию \(M_{R}\), добавив ещё одну аксиому:
\( \begin{equation} \tag{MR-аксиома} \forall g, h\in G\ \ [g, h] = e \rightarrow (gh)^\alpha = g^{\alpha}h^{\alpha}, \label{MR} \end{equation} \)
где \([g, h] = g^{-1}h^{-1}gh\).
Ясно, что все \(R\)-модули над кольцом \(R\) удовлетворяют аксиоме \((MR)\).
Для нильпотентных групп и биномиальных колец в [3] Ф. Холл ввёл категорию \(R\)-групп, которая отличается от категории \(M_{R}\).
В докладе вводится [3] понятие многообразия \(R\)-групп с аксиомой \((MR)\) и тензорного пополнения в многообразии. Рассматривается структура свободных \(2\)-ступенно нильпотентных \(R\)-групп для двух специальных колец.
Ссылки
[1] Lyndon R. C. "Groups with parametric exponents", Trans. Am. Math. Soc., 518–533 (1960).
[2] A. G. Myasnikov and V. N. Remeslennikov, "Groups with exponents I. Foundamentals of the theory and tensor completion", Sib. Math. J., 35 , No.5, 986-996 (1994).
[3] Hall P. Nilpotent groups// Canad. Math. Congress, Edmonton, 1957.
[4] M. G. Amaglobeli, A. G. Myasnikov, and T. T. Nadiradze "Varieties of exponential R-groups" Algebra and Logic, Vd.62, No.2, May, 2023.
-
Бахта Наталья Сергеевна, Николаев Владимир Борисович
(Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия)"О Романькове Виталии Анатольевиче"
Презентация (ru)
-
Берестовский Валерий Николаевич
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия)"The Gödel Universe as a Lie group with left-invariant Lorentz metric and the Iwasawa decomposition"
Аннотация
We discuss models of the Gödel Universe as a Lie group with left-invariant Lorentz metric for two simply connected four-dimensional Lie groups, the Iwasawa decomposition for semisimple Lie groups, and left-invariant Lorentz metric on \(SL(2,R)\), following K.-H. Neeb. Also we show that the isometry between two non-isomorphic sub-Riemannian Lie group, constructed by A. Agrachev and D. Barilari, is induced by some Iwasawa decomposition of \(SL(2,R)\).
Презентация (ru)
-
Бутурлакин Александр Александрович
(Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия)"Обобщение класса локально конечных групп конечной централизаторной размерности"
Презентация (ru)
-
Бучинский Иван Михайлович
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"Централизаторная размерность и нетеровость по уравнениям частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп"
Аннотация
В 2002 году A. Myasnikov и P. Shumyatsky ввели понятие централизаторной размерности группы, как максимальной длины среди всех строго убывающих цепочек централизаторов в этой группе. Известно, что класс групп, имеющих конечную централизаторную размерность, универсально аксиоматизируем. Позднее в своих работах 2005-2007 годов A.J. Duncan, I.V. Kazachkov и V.N. Remeslennikov показали, что для вычисления централизаторной размерности произвольной конечно порожденной свободной частично коммутативной группы достаточно рассматривать лишь централизаторы подмножеств порождающих этой группы. Аналогичный результат был получен V. Blatherwick в 2008 году для конечно порожденной частично коммутативной двуступенно нильпотентной группы. В данном докладе будут представлены обобщения этих результатов на случай бесконечно порожденных групп. С помощью этих обобщений будет приведен критерий нетеровости по уравнениям частично коммутативной двуступенно нильпотентной группы, устанавливающий связь с нетеровостью по уравнениям ее графа коммутативности. Свойство нетеровости по уравнениям занимает важное место в универсальной алгебраической геометрии — направлении математики, исследующем решения уравнений над различными алгебраическими системами.
Презентация (ru)
-
Даниярова Эвелина Юрьевна
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"Биинтерпретируемость неабелевой метабелевой группы Баумслага-Солитера \(BS(1,k)\) и кольца целых чисел \(\mathbb{Z}\)"
Аннотация
Метабелева группа Баумслага-Солитера \(BS(1,k)\), \(k>1\), сильно регулярно биинтерпретируемма с кольцом целых чисел \(\mathbb{Z}\). Этот факт позволяет извлечь целый ряд важных утверждений о группе \(BS(1,k)\), в том числе:
- 1) получить структурное описание групп, элементарно эквивалентных группе \(BS(1,k)\);
- 2) убедиться в том, что группа \(BS(1,k)\) является примарной моделью своей элементарной теории, что она атомарна и однородна;
- 3) показать, что группа \(BS(1,k)\) допускает элиминацию мнимостей;
- 4) доказать, что \(BS(1,k)\) является QFA-группой (quasi-finitely axiomatizable);
- 5) вывести то, что группа \(BS(1,k)\) является богатой алгебраической системой, то есть в ней логика первого порядка имеет ту же выразительную силу, что и слабая логика второго порядка;
- 6) обнаружить, что группа \(BS(1,k)\) наследует от \(\mathbb{Z}\) несколько важных свойств категорной теории интерпретируемости.
Презентация (ru)
-
Захарова Юлия Викторовна
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"О комбинаторных методах решения одной цеховой задачи составления расписаний открытого типа"
Аннотация
Рассматривается цеховая задача составления расписаний открытого типа [3] (open-shop) с точки зрения вычислительной сложности и подходов к решению. Обсуждаются точные и приближенные конструктивные алгоритмы для классического варианта задачи и выявляются новые комбинаторные свойства формируемых ими расписаний. Доказывается, что свойства расписаний и нижних оценок на целевую функцию позволяют обобщить результаты на варианты задачи с учетом ресурсов возобновимого и невозобновимого типов [1, 2], в том числе, когда потребление ресурса и длительность операции имеют нелинейную зависимость. Устанавливаются новые полиномиально разрешимые и NP-трудные частные случаи.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-71-10015.
Ссылки
[1] E. Bampis, D. Letsios, G. Lucarelli A note on multiprocessor speed scaling with precedence constraints. SPAA ’14: Proceedings of the 26th ACM symposium on Parallelism in algorithms and architectures, 2014 P. 138–142.
[2] B. Jurisch, W. Kubiak Two machine open shop with renewable resources. Operations research, 1997 V. 45 N. 4 P. 544-552.
[3] В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А. Струсевич Теория расписаний: Многостадийные системы. М.: Наука, 1989 327 c.
Презентация (ru)
-
Зубарева Ирина Александровна
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"Об интегрируемости уравнений субримановых геодезических на группе Ли \(G_{2,1} \times G_{2,1}\) и их качественном поведении"
Аннотация
Приведены свежие результаты по интегрируемости уравнений субримановых геодезических на четырехмерной группе Ли \(G_{2,1}\times G_{2,1}\) и их качественном поведении. Особый интерес представляют методы исследования, которые, как мы надеемся, могут быть использованы и для исследования других групп Ли.
Презентация (ru)
-
Зыкин Сергей Владимирович
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"Анализ зависимостей соединения в базах данных"
Аннотация
Для анализа зависимостей и правил вывода в базах данных предлагается использовать процесс тестирования. Он может быть использован в двух направлениях. Во-первых, тестирование позволяет проверить гипотезы относительно неизвестных правил вывода. Основная цель, при этом, поиск реализации отношения – контрпримера, который удовлетворяет исходным зависимостям и противоречит следствию. Найденный контрпример опровергает гипотезу, отсутствие контрпримера позволяет приступить к поиску обобщения правила и условий его выполнимости (logically imply). Тестирование не может служить доказательством выполнимости правил вывода, поскольку процесс обобщения требует поиска универсальных условий выводимости для каждого правила, что невозможно запрограммировать, поскольку даже вид этих условий неизвестен. Во-вторых, при проектировании конкретной базы данных может потребоваться проверка выполнимости правила, для которого отсутствует теоретическое обоснование. Такая ситуация может проявиться при наличии аномалий в суперключе. Решение этой проблемы основывается на использовании правил вывода зависимостей соединения. Для этих зависимостей пока не найдена полная система правил (аксиом). В докладе рассматривается: 1) методика проведения тестирования правил вывода на примере зависимостей соединения, 2) предложена схема алгоритма тестирования, 3) рассмотрены некоторые гипотезы, для которых отсутствуют контрпримеры и правила вывода, 4) предложен пример использования тестирования при поиске корректной декомпозиции суперключа.
Презентация (ru)
-
Ильев Артем Викторович
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"О системах уравнений над наследственными системами"
Аннотация
В работе исследуются конечные системы уравнений диофантовых языков над гиперграфами. Показано, что алгебраическое множество, определённое произвольной системой уравнений \(S\), может быть задано при помощи одних уравнений без констант из её радикала \(Rad(S)\) тогда и только тогда, когда гиперграф является наследственной системой неориентированного графа с петлями.
Презентация (ru)
-
Кислицин Алексей Владимирович
(Алтайский государственный педагогический университет, Барнаул, Россия)"Об одном критическом мультипликативном векторном пространстве"
Аннотация
Пусть \(F\) - поле, \(A\) - линейная ассоциативная \(F\)-алгебра и \(E\) - подпространство \(A\) (не обязательно подалгебра), которое порождает \(A\) как линейную \(F\)-алгебру. В этом случае назовем \(E\) мультипликативным векторным пространством (или короче, \(L\)-пространством) над полем \(F\). Алгебру \(A\) назовем обертывающей для пространства \(E\), а пространство \(E\) - вложенным в алгебру \(A\).
Тождеством \(L\)-пространства \(E\) над полем \(F\) (вложенного в \(F\)-алгебру \(A\)) называется ассоциативный многочлен \(f(x_1,x_2, \dots, x_n)\in F\langle X\rangle\), который обращается в нуль в алгебре \(A\) при подстановке вместо переменных \(x_1, x_2, \dots, x_n\) любых элементов из \(E\). Тождество мультипликативного векторного пространства \(E\) (с обертывающей алгеброй \(A\)) может быть рассмотрено как слабое тождество пары \((A, E)\). Пару \((A, E)\) в этом случае назовем мультипликативной векторной парой.
Пусть \(G\subseteq F\langle X\rangle\). Класс всех мультипликативных векторных пар вида \((A,E)\), удовлетворяющих всем тождествам множества \(G\), будем называть \(L\)-многообразием, заданным множеством тождеств \(G\). Если \(G\) - базис тождеств пространства \(E\), то \(L\)-многообразие, определенное множеством тождеств \(G\), называется \(L\)-многообразием, порожденным пространством \(E\). В классе мультипликативных векторных пространств можно естественным образом определить понятия подпары, гомоморфного образа пары, прямого произведения пар.
Фактором пары \((A,E)\) будем называть гомоморфный образ некоторой ее подпары. Если ядро гомоморфизма ненулевое, либо подпара является собственной, то фактор называется собственным. Пару \((A,E)\) назовем критической, если алгебра \(A\) конечна, и пара \((A,E)\) не лежит в \(L\)-многообразии, порожденном ее собственными факторами. В этом случае также говорим о критическом \(L\)-пространстве \(E\). Всякое локально конечное \(L\)-многообразие порождается своими критическими парами.
В настоящей работе доказано, что пара \((T_2(\mathbb Z_2),E_0)\), где \(T_2(\mathbb Z_2)\) - алгебра верхнетреугольных матриц второго порядка над полем \(\mathbb Z_2\), а \(E_0=\langle e_{11}+e_{12},e_{22}\rangle_{\mathbb Z_2}\), является критической. Ранее были известны только примеры критических пар вида \((A,A)\), где \(A\) - конечная ассоциативная алгебра.
Презентация (ru)
-
Клячко Антон Александрович
(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия)"Уравнения над разрешимыми группами"
Аннотация
Когда решение уравнения над разрешимой группой можно найти в большей разрешимой группе? Я расскажу о результатах В. А. Романькова, М. А. Михеенко и докладчика.
-
Котов Матвей Владимирович
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"О сложности проблемы решения систем тропических полиномиальных уравнений второй степени"
Аннотация
Доклад будет посвящён проблеме решения односторонних систем тропических полиномиальных уравнений второй степени. Будут обсуждаться сложность в наихудшем случае и генерическая сложность этой проблемы.
Презентация (ru)
-
Кукина Екатерина Георгиевна
(Канкун, Мексика)Спектр Райдемайстера, обзор работ В.А.Романькова
Аннотация
Понятие спектра Райдемайстера было предложено В. А. Романьковым и введено в комбинаторную алгебру в 2009 году в работах Кукиной и Романькова. В докладе содержится краткий обзор результатов Виталия Анатольевича по данному вопросу.
Презентация (ru)
-
Латыпова Асель Ильясовна
(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия)"Неравенства для перманента и определителя кватернионных матриц"
Аннотация
Для комплексных положительно полуопределённых матриц существуют уже доказанное неравенство Оппенгейма для определителей и аналогичное ему, правда, пока не доказанное, неравенство Холетта для перманентов (правда, со знаком неравенства в другую сторону). Удалось доказать аналоги неравенств Оппенгейма и Холетта для \( 2 \times 2 \) кватернионных положительно полуопределённых матриц.
Презентация (ru)
-
Медных Александр Дмитриевич
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия)"О сложности графa Кэли на диэдральной группе"
Аннотация
В настоящем докладе мы рассматриваем спектр и сложность бесконечного семейства графов Кэли $$\mathcal{D}_{n}= Cay(\mathbb{D}_{n}, b^{\beta_1},b ^{\beta_2},\ldots,b^{\beta_s}, a b^{\gamma_1}, a b^{\gamma_2},\ldots, a b^{\gamma_t}),$$ соответствующих группам диэдра \(\mathbb{D }_{n}=\langle a,b|a^2=1,b^n=1,(a\,b)^2=1\rangle\) порядка \(2n\).
Получена замкнутая формула для числа \(\tau(n)\) остовных деревьев в \(\mathcal{D}_{n}\) в терминах полиномов Чебышева, исследованы некоторые арифметические свойства этой функции и найдена ее асимптотика при \(n\to\infty\). Также показано, что производящая функция \(F(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\tau(n)x^n\) является рациональной функцией с целыми коэффициентами.
Презентация (en)
-
Михайлов Александр Васильевич
(University of Leeds, England)"Commutative Poisson algebras from deformations of noncommutative algebras and non-Abelian Hamiltonian systems"
Аннотация
By a well-known procedure, usually referred to as ''taking the classical limit'', quantum systems become classical systems, equipped with a Hamiltonian stucture (symplectic or Poisson). From the deformation quantisation theory we know that a formal deformation of a commutative algebra \(\cal A\) leads to a Poisson bracket on \(\cal A\) and that the classical limit of a derivation on the deformation leads to a Hamiltonian derivation on \(\cal A\) defined by the Poisson bracket. In this talk I present a generalisation of it for formal deformations of an arbitrary noncommutative associative algebra \(\cal A\) [1]. I will show that a deformation leads to a commutative Poisson algebra structure on \(\Pi({\cal A}):= Z({\cal A})\times({\cal A}/Z({\cal A}))\) and to the structure of a \(\Pi(\cal A)\)-Poisson module on \(\cal A\), where \(Z(\cal A)\) denotes the centre of \(\cal A\). The limiting derivations are then still derivations of \(\cal A\), but with the Hamiltonians belong to \(\Pi(\cal A)\), rather than to \(\cal A\). We illustrate our construction with several cases of formal deformations, coming from known quantum algebras, such as the ones associated with the Kontsevich integrable map, the quantum plane, the quantised Grassmann algebra and quantisations of the Volterra hierarchy [2, 3, 4].
This talk is based on a joint work with Pol Vanhaecke [1].
Ссылки
[1] Alexander V. Mikhailov and Pol Vanhaecke. Commutative Poisson algebras from deformations of noncommutative algebras. arXiv:2402.16191v2, 2024.
[2] Alexander V. Mikhailov. Quantisation ideals of nonabelian integrable systems. Russ. Math. Surv., 75(5):199, 2020.
[3] Sylvain Carpentier, Alexander V. Mikhailov and Jing Ping Wang. Quantisation of the Volterra hierarchy. Lett. Math. Phys., 112:94, 2022.
[4] Sylvain Carpentier, Alexander V. Mikhailov and Jing Ping Wang. Hamiltonians for the quantised Volterra hierarchy. arXiv:2312.12077, 2023.
Презентация (en)
-
Морозов Андрей Сергеевич
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия)"Об алгебраических свойствах некоторых классов функций"
Аннотация
Доклад содержит обзор результатов об алгебраических свойствах некоторых классов функций на натуральных числах, определяемых с использованием понятия вычислимости и его обобщений, таких как множество перестановок, вычислимых в тьюринговых идеалах, конечно порожденные подгруппы группы всех вычислимых перестановок, примитивно рекурсивные перестановки, перестановки, сводящиеся к некоторым множествам относительно различных алгоритмических сводимостей, функций с коперечислимыми графиками.
Презентация (ru)
-
Мясников Алексей Георгиевич
(Stevens Institute of Technology, USA)"Equations in Groups and Rings"
-
Ушакова Евгения Валерьевна
(Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия)"Свойства и ситуации равновесия некоторых теоретико-игровых задач"
Аннотация
В докладе приводятся формулировки, подходы к решению и описываются состояния равновесия различных теоретико-игровых задач: «игры с природой» на примере экономических задач; задача о размещении; дискретно-выпуклая матричная игра.
Презентация (ru)
-
Романовский Николай Семенович
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия)"Об элементарной теории пополнения разрешимой группы Баумслага-Солитера"
Аннотация
Определяется пополнение разрешимой группы Баумслага-Солитера \(BS(1,n)\), \(n>1\), которое обозначается через \(BSd(1,n)\), и при некоторых ограничениях на n изучается элементарная теория пополнения.В частности, находится рекурсивная аксиоматика элементарной теории, откуда следует её разрешимость, описываются группы, элементарно эквивалентные \(BSd(1,n)\).
Презентация (ru)
-
Рыбалов Александр Николаевич
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"О генерической сложности диофантовых проблем"
Аннотация
Из отрицательного решения десятой проблемы Гильберта следует, что существуют многочлены \(p(a, x_1, ..., x_n)\) с целыми коэффициентами такие, что нет алгоритма, который по любому натуральному числу a определял бы, разрешимо ли в целых числах уравнение \(p(a, x_1, ..., x_n) = 0\). Виталий Анатольевич Романьков в 2023 г. задал автору вопрос о генерической разрешимости такой диофантовой проблемы в параметрическом виде. Генерические алгоритмы решают проблемы на множествах почти всех входов, выдавая неопределенный ответ для остальных редких входов. В докладе будет дан ответ на этот вопрос. Также будет дан обзор ранее полученных результатов о генерической неразрешимости и сложности других диофантовых проблем.
Презентация (ru)
-
Соломатин Денис Владимирович
(Омский государственный педагогический университет, Омск, Россия)"Ранги планарности полугрупповых многообразий, порожденных полугруппами третьего порядка"
Аннотация
Виталий Анатольевич Романьков в 1997г. изучал с аспирантами вопросы регулярного замощения плоскости планарными графами Кэли групп. Дальнейшее обобщение и развитие тех идей привело нас к формированию теории спектров рангов планарности \(r_{\pi }\) полугрупповых многообразий.
Пусть \( N_n=\left\langle a\mathrel{\left|\vphantom{a a^n=a^{n+1}}\right.}a^n=a^{n+1}\right\rangle \) - апериодическая моногенная полугруппа порядка \(n\), \(Y_2=\{0,1\}\) - двухэлементная полурешетка, \(C=\{0,ab,b\}\) - подполугруппа полугруппы Брандта, \(B_2=\left\langle a,b\mathrel{\left|\vphantom{a,b a^2=b^2=0,aba=a,bab=b}\right.}a^2=b^2=0,aba=a,bab=b\right\rangle \), \(L_n=\left\langle l_1,l_2,\dots , l_n\mathrel{\left|\vphantom{l_1,l_2,\dots ,l_n xy=x}\right.}xy=x\right\rangle \) - полугруппа левых нулей порядка \(n\), \({\mathbb{Z}}_n=\left\langle a\mathrel{\left|\vphantom{a a^{n+1}=a}\right.}a^{n+1}=a\right\rangle \) - циклическая группа порядка \(n\), \(S^1\) - обозначает моноид, полученный из \(S\) присоединением нейтрального элемента. С одной стороны, многообразие, порожденное полугруппой \(S\), обозначается через \(\mathrm{var}~S\), с другой, - через \(\mathrm{var}\ \mathrm{\Sigma }\) обозначается многообразие полугрупп, заданное системой тождеств \(\mathrm{\Sigma }\). Тогда, следуя [1, Таблица 2], будем придерживаться таких обозначений для 13 многообразий, порождаемых одной из 18 возможных полугрупп третьего порядка:
\(\mathrm{var\ }N_2=\mathrm{var}\{xy\approx zt\}\);
\(\mathrm{var}~N_3=\mathrm{var}\{xyz\approx hkt,xy\approx yx\}\);
\(\mathrm{var}~N_2\vee \mathrm{var}~Y_2=\mathrm{var}\{x^2y\approx xy,xy\approx yx\}\);
\(\mathrm{var}~Y_2=\mathrm{var}\{x^2\approx x,xy\approx yx\}\);
\(\mathrm{var}~C=\mathrm{var}\{xy^2\approx xy,x^2y^2\approx y^2x^2\}\);
\(\mathrm{var}~L_2\vee \mathrm{var}~Y_2=\mathrm{var}\{x^2\approx x,xyz\approx xzy\}\);
\(\mathrm{var}~N^1_2=\mathrm{var}\{x^3\approx x^2,xy\approx yx\}\);
\(\mathrm{var}~Y_2\vee \mathrm{var}~{\mathbb{Z}}_2=\mathrm{var}\{x^3\approx x,xy\approx yx\}\);
\(\mathrm{var}~L^1_2=\mathrm{var}\{x^2\approx x,xyx\approx xy\}\);
\(\mathrm{var}~L_2\vee \mathrm{var}~N_2=\mathrm{var}\{xyz\approx xy\}\);
\(\mathrm{var}~L_2=\mathrm{var}\{xy\approx x\}\);
\(\mathrm{var}~N_2\vee \mathrm{var}~{\mathbb{Z}}_2=\mathrm{var}\{x^2yz\approx yz,xy\approx yx\}\);
\(\mathrm{var}~{\mathbb{Z}}_3=\mathrm{var}\{x^3y\approx y,xy\approx yx\}\).
В свою очередь, многообразие, порождённое всеми полугруппами порядка \(3\) определяется следующей системой тождеств:
\({\boldsymbol{\mathrm{S}}}_3=\mathrm{var}\{x^8y\approx x^2y,\ xy^8\approx xy^2,\ x^7yx\approx xyx^7\approx xyx,\ xyx^6zx\approx xyzx,\ x^2yx\approx xyx^2,\ xyxzx\approx x^2yzx, \) \( xhyxty\approx xhxyty,xhyxy\approx xhxy^2,\ xyxty\approx x^2yty,\ xyxy\approx x^2y^2\}\).
Основной результат:
\(r_{\pi }\left(\mathrm{var}~N_2\right)=r_{\pi }\left(\mathrm{var}~L^1_2\right)=r_{\pi }\left(\mathrm{var}~L_2\vee \mathrm{var}~N_2\right)=r_{\pi }\left(\mathrm{var}~L_2\right)=\infty \);
\(r_{\pi }\left(\mathrm{var}~L_2\vee \mathrm{var}~Y_2\right)=4\);
\(r_{\pi }\left(\mathrm{var}~N_3\right)=r_{\pi }\left(\mathrm{var}~N_2\vee \mathrm{var}~Y_2\right)=r_{\pi }\left(\mathrm{var}~Y_2\right)=r_{\pi }\left(\mathrm{var}~C\right)=3\);
\(r_{\pi }\left(\mathrm{var}~N^1_2\right)=r_{\pi }\left(\mathrm{var}~Y_2\vee \mathrm{var}~{\mathbb{Z}}_2\right)=r_{\pi }\left(\mathrm{var}~N_2\vee \mathrm{var}~{\mathbb{Z}}_2\right)=2\);
\(r_{\pi }\left(\mathrm{var}~{\mathbb{Z}}_3\right)=r_{\pi }\left({\boldsymbol{\mathrm{S}}}_3\right)=1\).
Ссылки
[1] Luo Y., Zhang W., On the variety generated by all semigroups of order three // Journal of Algebra, V. 334, 2011, pp. 1–30
Презентация (ru)
-
Трейер Александр Викторович
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия)"О неразрешимых проблемах в нильпотентных группах"
Аннотация
Презентация (ru)
-
Чесноков Иван Андреевич
(Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия)"Центроиды коммутативно-транзитивных групп"
Аннотация
В 2005 году А. Г. Мясников и С. Лютиков в работе [1] ввели понятие центроида произвольной группы G как кольцо всех нормальных квази-эндоморфизмов этой группы. Понятие центроида группы является аналогом центроида в теории колец и играет важную роль в теории жестких групп [3]. Отметим также, что для произвольной абелевой группы A центроид этой группы совпадает с кольцом эндоморфизмов группы A. Такимобразом, понятие центроида можно воспринимать как аналог понятия кольца эндоморфизмов для неабелевых групп. Изучение центроидов важно для теории степенных групп (MR-групп) [2], так как центроид группы является максимальным кольцом скаляров этой группы [1], то есть любое другое кольцо, для которого мы можем определить точное действие, удовлетворяющее аксиомам возведения в степень на группе, вкладывается в центроид.
В работе [1] было доказано, что центроид CSA групп имеет явное описание. В докладе будет представлено обобщение этого результата на класс CT-групп, а также будет дано конкретное описание центроида некоторых групп в классе CT.
Ссылки
[1] Lioutikov S., Myasnikov A. Centroids of groups, 2005
[2] Мясников А. Г. , Ремесленников В. Н. , Степенные группы. I: основы теории и тензорные пополнения// Сиб. мат. ж. - 1994 - 35, №5 - С. 1106–1118.
[3] Grunewald F., Segal D. Reflections on the classification of torsion-free nilpotent groups//Group Theory: essays for Philip Hall - 1984 - p. 121-158.
Презентация (ru)